Dans ce cours de la chaîne Mathtec, nous nous intéressons à la résolution rigoureuse dans $\mathbb{R}$ de l'équation irrationnelle suivante :
$$\sqrt{2x^2 - 4x - 5} = x - 2$$Lorsqu'on élève les deux membres d'une équation au carré ($a = b \implies a^2 = b^2$), il s'agit d'une implication directe ($\implies$) et non d'une équivalence. En effet, l'élévation au carré détruit le signe (puisque $(-5)^2 = 5^2 = 25$), ce qui peut introduire des solutions parasites (ou étrangères).
La résolution s'organise donc en deux étapes indissociables :
- Phase 1 (Analyse / Condition nécessaire) : Trouver toutes les solutions candidates potentielles.
- Phase 2 (Synthèse / Réciproque) : Tester chaque candidat dans l'équation initiale pour éliminer les fausses solutions.
Phase 1 : Analyse (Recherche des solutions candidates)
Supposons qu'il existe un réel $x$ solution de l'équation $\sqrt{2x^2 - 4x - 5} = x - 2$. En élevant les deux membres au carré :
$$\left(\sqrt{2x^2 - 4x - 5}\right)^2 = (x - 2)^2$$Développons le membre de droite à l'aide de l'identité remarquable $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$$2x^2 - 4x - 5 = x^2 - 4x + 4$$Regroupons tous les termes dans le membre de gauche :
$$(2x^2 - x^2) + (-4x + 4x) + (-5 - 4) = 0$$ $$x^2 - 9 = 0$$Reconnaissons l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $9 = 3^2$ :
$$(x - 3)(x + 3) = 0$$Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. On obtient ainsi deux solutions candidates :
$$x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -3$$Phase 2 : Synthèse (Test des candidats et élimination des parasites)
Puisque nous avons procédé par implication $(\implies)$, nous devons tester si ces deux valeurs vérifient l'équation initiale $\sqrt{2x^2 - 4x - 5} = x - 2$.
1. Test pour $x = 3$ :
- Membre de gauche : $\sqrt{2(3)^2 - 4(3) - 5} = \sqrt{2(9) - 12 - 5} = \sqrt{18 - 17} = \sqrt{1} = 1$
- Membre de droite : $3 - 2 = 1$
Puisque $1 = 1$, l'égalité est vérifiée. Donc $x = 3$ est une solution valide.
2. Test pour $x = -3$ :
- Membre de gauche : $\sqrt{2(-3)^2 - 4(-3) - 5} = \sqrt{2(9) + 12 - 5} = \sqrt{18 + 7} = \sqrt{25} = 5$
- Membre de droite : $-3 - 2 = -5$
Or, $5 \neq -5$ (une racine carrée dans $\mathbb{R}$ est toujours positive ou nulle, elle ne peut valoir $-5$). Par conséquent, $x = -3$ est une solution parasite à rejeter.
Étape 1 (Condition nécessaire / Analyse) :
$$\begin{aligned} \sqrt{2x^2 - 4x - 5} = x - 2 &\implies 2x^2 - 4x - 5 = (x - 2)^2 \\ &\implies 2x^2 - 4x - 5 = x^2 - 4x + 4 \\ &\implies x^2 - 9 = 0 \\ &\implies (x - 3)(x + 3) = 0 \\ &\implies x \in \{3, -3\} \end{aligned}$$Étape 2 (Condition suffisante / Synthèse) :
• Pour $x = 3$ : $\sqrt{2(3)^2 - 4(3) - 5} = \sqrt{1} = 1$ et $3 - 2 = 1$. L'égalité est vérifiée.
• Pour $x = -3$ : $\sqrt{2(-3)^2 - 4(-3) - 5} = \sqrt{25} = 5$ alors que $-3 - 2 = -5 \neq 5$. Valeur exclue.
Conclusion : L'unique solution de l'équation dans $\mathbb{R}$ est :
$$S = \{3\}$$Vous avez aimé cette démonstration ? Pensez à vous abonner à la chaîne YouTube @mathtecfr et à poser vos questions dans les commentaires ci-dessous !