Accéder au contenu principal

Résolution d'une équation irrationnelle avec une racine carrée: sqrt(2x^2-4x-5)=x-2


    Dans cet article, nous résolvons une équation contenant une racine carrée et un trinôme égal à un binôme x - 2. (Voir la video correspondante sur YouTube) 


 

    Nous suivons une approche étape par étape pour résoudre cette équation. Tout d'abord, nous éliminons la racine carrée en élevant les deux côtés au carré. Cela simplifie l'équation en un trinôme 2x² - 4x - 5 d'un côté et l'expression (x - 2)² de l'autre côté. En utilisant l'identité remarquable (a-b)², nous développons (x - 2)² en x² - 4x + 4. Nous regroupons ensuite les termes similaires et obtenons l'équation simplifiée 2x² - x² - 4x + 4x - 9 - 4 = 0, ce qui donne x² - 9 = 0. Nous procédons ensuite à la factorisation de l'expression x² - 9 = 0 en (x-3)(x+3) = 0. Cela nous donne les solutions potentielles x = 3 et x = -3. Dans la deuxième étape, nous vérifions si ces solutions sont effectivement des solutions en substituant les valeurs de x dans l'équation d'origine. Nous constatons que pour x = 3, l'équation est vérifiée, mais pour x = -3, l'équation ne l'est pas. Ainsi, nous concluons que l'ensemble des solutions de l'équation est S = {3}. Nous soulignons également l'importance de vérifier les solutions potentielles afin de confirmer qu'elles sont réellement des solutions; finalement voici la solution  complète que vous pouvez utiliser dans vos examens :

Résolvons l'équation \[ \sqrt{2x^2 - 4x - 5} = x - 2 \].


Étape 1: Élever les deux côtés au carré 

\[ (\sqrt{2x^2 - 4x - 5})^2 = (x - 2)^2 \] 

\[ \Rightarrow 2x^2 - 4x - 5 = x^2 - 4x + 4 \] 


Étape 2: Simplifier et réarranger 

\[ \Rightarrow 2x^2 - x^2 - 4x + 4x - 5 - 4 = 0 \] 

\[ \Rightarrow x^2 - 9 = 0 \] 


Étape 3: Factoriser et trouver les solutions 

\[ \Rightarrow (x - 3)(x + 3) = 0 \] 

\[ \Rightarrow x - 3 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 3 = 0 \] 


Étape 4: Tester les solutions potentielles et conclure 

On substitue les valeurs des solutions potentielles dans l'équation d'origine pour vérifier si elles sont valides.


Pour \[ x = 3 \]: 

\[ \sqrt{2(3)^2 - 4(3) - 5} = (3) - 2 \] 

\[ \Rightarrow \sqrt{18 - 12 - 5} = 1 \] 

\[ \Rightarrow \sqrt{1} = 1 \]  


La solution \[ x = 3 \] est valide.  


Pour \[ x = -3 \]: 

\[ \sqrt{2(-3)^2 - 4(-3) - 5} = (-3) - 2 \] 

\[ \Rightarrow \sqrt{18 + 12 - 5} = -5 \] 

\[ \Rightarrow \sqrt{25} = -5 \] 


La solution \[ x = -3 \] n'est pas valide. Ainsi, la seule solution de l'équation est \[ 3 \].



Labels:

Commentaires

Enregistrer un commentaire

Posts les plus consultés de ce blog

Démonstration Mathématique : Pourquoi n x (n+1) est Toujours un Nombre Pair

  Bonjour chers lecteurs, bienvenue sur notre blog Mathtec ! Dans cet article, nous allons explorer une démonstration mathématique intéressante : pourquoi le produit de deux entiers naturels consécutifs, n x (n+1), est toujours un nombre pair. Pour illustrer ce concept, commençons par prendre l'exemple de n = 2023. Nous montrerons que, dans ce cas, n x (n+1) est effectivement un nombre pair. Cependant, étant donné qu'il existe une infinité d'entiers naturels, il est impossible de vérifier chaque cas individuellement. Nous utiliserons donc une méthode mathématique appelée la méthode par disjonction de cas. Nous discuterons de la parité de n en considérant deux cas : si n est pair et si n est impair. Dans le premier cas, si n est pair, nous montrerons qu'il peut s'exprimer comme 2 fois un certain entier k. En conséquence, nous pourrons exprimer n x (n+1) comme 2 fois un autre entier M, où M = k x (2k+1), clairement un entier naturel. Ainsi, dans le cas où n est pair, ...
Enregistrer un commentaire
Read more »

Résolution d'une équation irrationnelle avec une racine carrée: sqrt(x^2-2x-3)=x-2

  Dans cet article , on utilise un raisonnement par équivalence pour trouver l'ensemble de solutions de l'équation irrationnelle sqrt(x^2-2x-3)=x-2, Suivez attentivement les étapes que je vais vous présenter. Tout d'abord, nous devons enlever la racine carrée de l'équation. Nous pouvons le faire en élevant les deux côtés de l'équation au carré. Ainsi, nous obtenons l'équation x² - 2x - 3 = (x - 2) ². Je travaille dans ce sens pour utiliser un raisonnement par équivalence, mais je dois être attentif à l'autre sens également. Pour être sûr de conserver l'équivalence, j'ajoute une condition supplémentaire : x - 2 doit être positif. Cela garantit que la valeur absolue de x-2 est égale à x-2. Maintenant, je peux continuer mon raisonnement en simplifiant l'équation pour obtenir x² - 2x - 3 = x² - 4x + 4. En résolvant cette inéquation, je trouve que x est supérieur ou égal à 2. En simplifiant davantage l'équation, j'obtiens -2x + 4x = -7, ce...
Enregistrer un commentaire
Read more »