Résolution d'une équation irrationnelle avec une racine carrée: sqrt(x^2-2x-3)=x-2

 

Dans cet article , on utilise un raisonnement par équivalence pour trouver l'ensemble de solutions de l'équation irrationnelle sqrt(x^2-2x-3)=x-2, Suivez attentivement les étapes que je vais vous présenter.

Tout d'abord, nous devons enlever la racine carrée de l'équation. Nous pouvons le faire en élevant les deux côtés de l'équation au carré. Ainsi, nous obtenons l'équation x² - 2x - 3 = (x - 2) ². Je travaille dans ce sens pour utiliser un raisonnement par équivalence, mais je dois être attentif à l'autre sens également. Pour être sûr de conserver l'équivalence, j'ajoute une condition supplémentaire : x - 2 doit être positif. Cela garantit que la valeur absolue de x-2 est égale à x-2. Maintenant, je peux continuer mon raisonnement en simplifiant l'équation pour obtenir x² - 2x - 3 = x² - 4x + 4. En résolvant cette inéquation, je trouve que x est supérieur ou égal à 2. En simplifiant davantage l'équation, j'obtiens -2x + 4x = -7, ce qui donne 2x = 7. Donc, x = 7/2. Comme 7/2 est supérieur ou égal à 2, je peux ignorer la condition supplémentaire précédente. Ainsi, je suis certain que l'équation admet une seule et unique solution, qui est x = 7/2. Si vous avez des questions concernant ce raisonnement, n'hésitez pas à les écrire dans les commentaires. Je serai ravi d'y répondre rapidement.

Voici la solution mathématique formelle :

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Résolvons dans \[ \mathbb{R} \] l'équation : \[ \sqrt{x^2 - 2x - 3} = x - 2 \]

Soit \[ x \in \mathbb{R} \], on a :

\[ \begin{align*} \sqrt{x^2 - 2x - 3} = x - 2 &\Longleftrightarrow x^2 - 2x - 3 = (x - 2)^2 \quad \text{et} \quad x - 2 \geqslant 0 \\ &\Longleftrightarrow x^2 - 2x - 3 = x^2 - 4x + 4 \quad \text{et} \quad x \geqslant 2 \\ &\Longleftrightarrow x = \frac{7}{2} \quad \text{et} \quad x \geqslant 2 \\ &\Longleftrightarrow x = \frac{7}{2} \\ \end{align*} \]

d'où \[ S \], l'ensemble des solutions de l'équation est : \[ S = \left\{ \frac{7}{2} \right\} \]