Dans ce cours, nous étudions la résolution rigoureuse dans $\mathbb{R}$ de l'équation irrationnelle suivante à l'aide d'un raisonnement par équivalences logiques successives :
$$\sqrt{x^2 - 2x - 3} = x - 2$$Soient $A(x)$ et $B(x)$ deux expressions réelles. L'équation $\sqrt{A(x)} = B(x)$ équivaut au système suivant :
$$\sqrt{A(x)} = B(x) \iff \begin{cases} B(x) \geqslant 0 \\ A(x) = [B(x)]^2 \end{cases}$$Remarque clé : Il est inutile d'étudier le signe du radicande $A(x) \geqslant 0$ au préalable. En effet, comme $A(x) = [B(x)]^2$, $A(x)$ est égal à un carré parfait, donc sa positivité est automatiquement assurée. Cela évite le calcul fastidieux du discriminant $\Delta$.
1. Condition d'existence et de positivité
Pour éliminer le radical en élevant au carré tout en conservant l'équivalence $(\iff)$, le membre de droite doit impérativement être positif ou nul :
$$x - 2 \geqslant 0 \iff x \geqslant 2$$2. Développement et résolution algébrique
Sous la condition $x \geqslant 2$, nous élevons les deux membres au carré :
$$x^2 - 2x - 3 = (x - 2)^2$$Développons le membre de droite grâce à l'identité remarquable $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$$x^2 - 2x - 3 = x^2 - 4x + 4$$Les termes $x^2$ s'annulent de part et d'autre de l'égalité :
$$-2x - 3 = -4x + 4$$Regroupons les termes en $x$ à gauche et les constantes à droite :
$$-2x + 4x = 4 + 3 \iff 2x = 7 \iff x = \frac{7}{2}$$3. Vérification de la condition
Nous confrontons la solution candidate obtenue avec la condition $x \geqslant 2$ :
$$\frac{7}{2} = 3{,}5 \geqslant 2 \quad \text{(Condition vérifiée)}$$Soit $x \in \mathbb{R}$. Par équivalences logiques successives :
$$\begin{aligned} \sqrt{x^2 - 2x - 3} = x - 2 &\iff \begin{cases} x - 2 \geqslant 0 \\ x^2 - 2x - 3 = (x - 2)^2 \end{cases} \\[6pt] &\iff \begin{cases} x \geqslant 2 \\ x^2 - 2x - 3 = x^2 - 4x + 4 \end{cases} \\[6pt] &\iff \begin{cases} x \geqslant 2 \\ 2x = 7 \end{cases} \\[6pt] &\iff \begin{cases} x \geqslant 2 \\ x = \dfrac{7}{2} \end{cases} \\[6pt] &\iff x = \frac{7}{2} \end{aligned}$$L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ est :
$$S = \left\{ \frac{7}{2} \right\}$$Avez-vous des questions sur ce raisonnement par équivalence ? N'hésitez pas à les poser dans l'espace commentaires ci-dessous ou directement sous la vidéo YouTube !