Dans cette première partie, nous explorons une méthode algébrique particulièrement ingénieuse pour démontrer que pour tout entier naturel $n$, l'expression $n^5 - n$ est toujours divisible par $5$, sans faire appel aux congruences ni au petit théorème de Fermat.
Pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}$ :
$$5 \mid (n^5 - n) \iff n^5 - n \equiv 0 \pmod{5}$$1. Factorisation initiale de n⁵ - n
Commençons par mettre $n$ en facteur commun dans l'expression :
$$n^5 - n = n(n^4 - 1)$$Reconnaissons une différence de deux carrés $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $n^4 - 1 = (n^2)^2 - 1^2$ :
$$n^4 - 1 = (n^2 - 1)(n^2 + 1)$$En factorisant à nouveau $(n^2 - 1) = (n - 1)(n + 1)$, nous obtenons :
$$n^5 - n = (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) \cdot (n^2 + 1)$$Nous faisons ainsi apparaître le produit de trois entiers consécutifs : $(n - 1) \cdot n \cdot (n + 1)$.
2. L'astuce algébrique clé : Décomposition de n² + 1
Nous savons que dans n'importe quelle suite de 5 entiers consécutifs, l'un d'eux est nécessairement un multiple de $5$. L'idée directrice consiste donc à faire apparaître les deux facteurs successifs manquants : $(n + 2)$ et $(n + 3)$.
Développons le produit de ces deux facteurs :
$$(n + 2)(n + 3) = n^2 + 5n + 6$$En retranchant $5(n + 1) = 5n + 5$, on constate que :
$$(n + 2)(n + 3) - 5(n + 1) = (n^2 + 5n + 6) - (5n + 5) = n^2 + 1$$D'où l'égalité remarquable :
$$n^2 + 1 = (n + 2)(n + 3) - 5(n + 1)$$3. Séparation en deux blocs et conclusion
Remplaçons $(n^2 + 1)$ par cette expression dans notre factorisation de $n^5 - n$ :
$$n^5 - n = (n - 1)n(n + 1) \cdot \left[ (n + 2)(n + 3) - 5(n + 1) \right]$$Développons l'ensemble :
$$n^5 - n = \underbrace{(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}_{\text{Bloc A : Produit de 5 entiers consécutifs}} - 5 \cdot \underbrace{n(n - 1)(n + 1)^2}_{\text{Bloc B : Multiple évident de 5}}$$- Le Bloc A, $(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3)$, est un produit de 5 entiers consécutifs. Dans toute suite de 5 entiers successifs, l'un des termes est nécessairement un multiple de $5$. Donc $5 \mid \text{Bloc A}$.
- Le Bloc B est multiplié par le facteur $5$, c'est donc un multiple immédiat de $5$.
Puisque la différence de deux multiples de $5$ est elle-même un multiple de $5$, nous concluons que pour tout entier naturel $n$ :
$$5 \mid (n^5 - n)$$Découvrez la démonstration complète prouvant que le produit de 5 entiers consécutifs est également divisible par $120$ ($5!$) dans la Vidéo Partie 2 sur notre chaîne YouTube !
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